Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss est un principe fondamental en électrostatique qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrique totale enfermée dans cette surface.

Flux du champ électrique#

Le flux $\\Phi_E$ du champ électrique à travers une surface est une mesure de la quantité de champ électrique qui traverse cette surface. Il est défini comme le produit scalaire du champ électrique E et de la surface S :

\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S}

où S est le vecteur dont la magnitude est égale à la surface et dont la direction est perpendiculaire à cette surface, pointant vers l'extérieur.

Énoncé du théorème de Gauss#

Le théorème de Gauss stipule que le flux total du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la charge totale $Q\_{\\text{int}}$ enfermée par la surface, divisée par la permittivité du vide $\\epsilon_0$ :

\Phi_E = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}

Ce théorème est particulièrement utile pour calculer le champ électrique dans des situations où il existe une grande symétrie, comme la symétrie sphérique, cylindrique ou plane.

Exemples d'application du théorème de Gauss#

Champ électrique d'une charge ponctuelle#

Considérons une charge ponctuelle Q entourée par une surface sphérique de rayon r. Le flux à travers la surface est :

\Phi_E = \frac{Q}{\epsilon_0}

Le champ électrique étant radialement symétrique et pointant vers l'extérieur, on a :

E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}

Champ électrique d'une ligne de charge infinie#

Pour une ligne de charge infinie avec une densité linéique de charge $\\lambda$, on utilise une surface cylindrique coaxiale avec la ligne de charge comme axe. Le flux à travers la surface latérale du cylindre est :

\Phi_E = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}

où L est la longueur du cylindre. Le champ électrique est alors :

E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}

Champ électrique d'un plan infini de charge#

Pour un plan infini avec une densité surfacique de charge $\\sigma$, on choisit une surface en forme de boîte dont l'une des faces est parallèle au plan. Le flux à travers cette surface est :

\Phi_E = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}

où A est l'aire de la face de la boîte parallèle au plan. Le champ électrique est constant et vaut :

E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}

Ces exemples illustrent comment le théorème de Gauss peut simplifier le calcul du champ électrique dans des configurations où la symétrie permet de déterminer facilement la forme de la surface gaussienne à utiliser.