Le champ électrique

Le concept de champ électrique est fondamental en électrostatique. Il décrit l'influence qu'une charge électrique exerce sur l'espace qui l'entoure. Ce champ est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu'il a une direction ainsi qu'une magnitude. Contrairement à la force de Coulomb, qui nécessite deux charges pour exister, le champ électrique existe autour de toutes les charges, même seules.

Définition du champ électrique#

Le champ électrique E en un point de l'espace est défini comme la force électrostatique F qu'une charge de test positive q subirait, divisée par la valeur de cette charge :

\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}

Les unités du champ électrique dans le Système international sont des newtons par coulomb (N/C).

Représentation par des lignes de champ#

Les lignes de champ électrique sont des lignes imaginaires qui représentent la direction et l'intensité du champ électrique. Elles sont dessinées de telle sorte que la tangente à une ligne en un point donné est dans la direction du champ électrique en ce point, et l'espacement entre les lignes indique l'intensité du champ : un espacement rapproché indique un champ plus fort.

Champ électrique d'une charge ponctuelle#

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle Q à une distance r est donné par la loi de Coulomb :

\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}

où $\\epsilon_0$ est la permittivité du vide.

Le champ est orienté radialement à partir de la charge. Il est vers l’extérieur pour une charge Q positive et vers l’intérieur pour une charge Q négative.

Superposition des champs électriques de charges ponctuelles#

Le principe de superposition est un outil puissant en électrostatique. Il stipule que le champ électrique total en un point est la somme vectorielle des champs électriques créés par chaque charge ponctuelle individuellement. Si nous avons un ensemble de n charges ponctuelles $Q_1, Q_2, ..., Q_n$ situées aux points $\\vec{r}\_1, \\vec{r}\_2, ..., \\vec{r}\_n$, le champ électrique total $\\vec{E}$ en un point $\\vec{r}$ est donné par :

\vec{E} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + ... + \vec{E}_n

Exemples de champ électrique pour des distributions de charges#

Champ électrique d'une ligne de charge uniforme#

Pour une ligne de charge infinie avec une densité linéique de charge $\\lambda$ (C/m), le champ électrique à une distance r de la ligne est :

E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}

Champ électrique d'un anneau de charge#

Considérons un anneau de rayon R portant une charge totale Q répartie uniformément. Le champ électrique sur l'axe de l'anneau à une distance x du centre de l'anneau est :

E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}

Champ électrique d'un disque de charge#

Pour un disque de rayon R avec une densité surfacique de charge uniforme $\\sigma$ (C/m²), le champ électrique à une distance x sur l'axe perpendiculaire au centre du disque est :

E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)

Champ électrique d'un plan infini de charge#

Pour un plan infini avec une densité surfacique de charge uniforme $\\sigma$ (C/m²), le champ électrique est constant en magnitude et direction à n'importe quelle distance du plan. Il est donné par :

E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}

Le champ électrique pointe perpendiculairement loin du plan si la charge est positive, et vers le plan si la charge est négative.

Champ électrique entre deux plans infinis parallèles#

Lorsque nous avons deux plans infinis parallèles portant des charges de densités surfaciques uniformes $\\sigma_1$ et $\\sigma_2$ (C/m²), le champ électrique entre les deux plans est la somme des champs créés par chaque plan.

Si les charges sont de même signe, le champ résultant est nul. Si les charges sont de signes opposés, le champ résultant est :

E = \frac{|\sigma_1 - \sigma_2|}{2\epsilon_0}

Le champ pointe dans la direction allant du plan positivement chargé vers le plan négativement chargé.

Champ électrique d'une sphère chargée#

Sphère chargée uniformément (charge volumique)

Pour une sphère de rayon R avec une densité volumique de charge uniforme $\\rho$ (C/m³), le champ électrique à une distance r de son centre (avec $r \\geq R$) est :

E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}

où Q est la charge totale de la sphère. À l'intérieur de la sphère ($r < R$), le champ électrique est :

E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\rho}{3} r

Sphère conductrice chargée (charge surfacique)

Pour une sphère conductrice chargée avec une charge totale Q répartie uniformément sur sa surface, le champ électrique à l'extérieur de la sphère (à une distance $r \\geq R$) est le même que pour une charge ponctuelle :

E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}

À l'intérieur de la sphère conductrice ($r < R$), le champ électrique est nul :

E = 0

Ces exemples illustrent comment le champ électrique peut être calculé pour différentes configurations de charge en utilisant les principes de l'électrostatique et les symétries des problèmes. Ils sont obtenus à l’aide du théorème de Gauss, que nous verrons à la section suivante.